penjelasan sistem bilangan

SISTEM BILANGAN

Matematika adalah sesuatu yang sangat berpengaruh dari segala ilmu, baik dalam bidang teknologi ataupun lainnya. Dalam hal ini penerapan matematika dimunculkan dalam ilmu teknologi informasi. Dalam perkembangannya teknologi menggunakan beberapa bahasa dan rumusan matematika, seperti perhitungan sistem oktal, sistem biner, sistem desimal, sistem hexadesimal. Hampir semua pemograman dan aplikasi menggunakan sistem tersebut.

PENGERTIAN SISTEM BILANGAN

Sistem bilangan adalah hal pokok dalam sebuah ilmu matematika, bisa juga dikatakan sebagai inti dari suatu ilmu matematika itu sendiri.

Sistem Bilangan atau Number System adalah Suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem Bilangan menggunakan suatu bilangan dasar atau basis  yang tertentu.

Ada 4 Jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu :  

1.        Sistem Bilangan Desimal (Decimal Number System) “Basis 10”

2.        Sistem Bilangan Binari (Binary Number System) “Basis 2”

3.        Sistem Bilangan Oktal (Octal Number System) “Basis 8”

4.        Sistem Bilangan Hexadesimal (Hexadecimal Number System) “Basis 16” 

1. Sistem Bilangan Desimal

Sistem bilangan desimal/persepuluhan adalah sistem bilangan yang menggunakan 10 macam angka dari 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Sistem bilangan berbasis 10 karena memiliki 10 digit, Setiap digitnya memiliki nilai yang berbeda, Bentuk nilainya dapat berupa integer, decimal ataupun pecahan. Sistem bilangan desimal kurang cocok digunakan untuk sistem digital karena sangat sulit merancang pesawat elektronik yang dapat bekerja dengan 10 level (tiap-tiap level menyatakan karakter desimal mulai 0 sampai 9)

2. sistem Bilangan Binari

Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis dua adalah sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu 0 dan 1. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari semua sistem bilangan berbasis digital. Dari sistem biner, kita dapat mengkonversinya ke sistem bilangan Oktal atau Hexadesimal. Sistem ini juga dapat kita sebut dengan istilah bit, atau Binary Digit. Pengelompokan biner dalam komputer selalu berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte/bita. Dalam istilah komputer, 1 Byte = 8 bit.

3.  Sistem Bilangan Oktal

Oktal adalah sebuah sistem bilangan berbasis delapan. Simbolyang digunakan pada sistem bilangan ini adalah 0,1,2,3,4,5,6,7. Konversi Sistem Bilangan Oktal berasal dari Sistem bilangan biner yang dikelompokkan tiap tiga bit biner dari ujung paling kanan (LSB atau Least Significant Bit).

4.        Sistem Bilangan Hexadesimal

Hexadesimal (Basis 16), Hexa berarti 6 dan Desimal berarti 10 adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 16 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Berbeda dengan ke tiga sistem bilangan yang telah dibahas. Sistem bilangan hexadesimal memadukan 2 unsur yaitu angka dan huruf. Huruf A mewakili angka 10, B mewakili angka 11 dan seterusnya sampai Huruf F mewakili angka 15. 

konversi bilangan 

Konversi Dari System Bilangan Desimal

a. Desimal Ke Biner

Dalam menerjemahkan bilangan desimal ke biner, bilangan desimal dibagi dengan 2. Bilangan dibagi hingga habis atau hasilnya sama dengan 0. Jika terdapat sisa pada pembagian, maka bernilai 1. Jika tidak terdapat sisa pada pembagian maka bernilai 0. Contoh : bilangan 125(10)

Decimal	Habis dibagi / tidak	Biner
125 / 2 = 62	sisa	1
62 / 2 = 31	tidak sisa	0
31 / 2 = 15	sisa	1
15 / 2 = 7	sisa	1
7 / 2 = 3	sisa	1
3 / 2 = 1	sisa	1
1 / 2 = 0	sisa	1

Dalam penulisannya, hasil pembagian pertama berada di ujung kiri, terurut kearah kanan. Sehingga 125(10) = 1111 101(2)

b. Desimal ke Oktal

Dalam menerjemahkan bilangan desimal ke oktal, bilangan desimal dibagi dengan 8. Bilangan dibagi hingga habis atau hasilnya sama dengan 0. Jika terdapat sisa pada pembagian, maka nilai tersebutlah yang ditulis. Contoh : bilangan 251(10)

Decimal	Sisa Pembagian	Oktal
251 / 8 = 31	3	3
31 / 8 = 3	7	7
3 / 8 = 0	3	3

Dalam penulisannya, hasil pembagian pertama berada di ujung kiri, terurut kearah kanan. Sehingga 251(10) = 373(8)

c. Desimal ke Hexadesimal

Dalam menerjemahkan bilangan desimal ke hexadesimal, bilangan desimal dibagi dengan 16. Bilangan dibagi hingga habis atau hasilnya sama dengan 0. Jika terdapat sisa pada pembagian, maka nilai tersebutlah yang ditulis. Contoh : bilangan 251(10) ke hexadesimal:

Decimal	Sisa Pembagian	Hexadesimal
251 / 16 = 15	11	B
15 / 16 = 0	15	F

Dalam penulisannya, hasil pembagian pertama berada di ujung kiri, terurut kearah kanan. Sehingga 251(10) = FB(16)

Konversi dari system bilangan Biner

a. Biner Ke Desimal

Cara mengkonversi bilangan biner ke desimal adalah dengan mengalikan satu-satu bilangan dengan 2 (basis biner) pangkat 0 atau 1 atau 2 dst dimulai dari bilangan paling kanan. Kemudian hasilnya dijumlahkan. Misal, 11001(biner) = (1x20) + (0x21) + (0x22) + (1x2) + (1x22) = 1+0+0+8+16 = 25(desimal).

2.  Biner ke Oktal

Konversi bilangan biner ke octal sebaliknya yakni dengan mengelompokkan angka biner menjadi tiga-tiga dimulai dari sebelah kanan kemudian masing-masing kelompok dikonversikan kedalam angka desimal dan hasilnya diurutkan.

Untuk contoh 110010 = 62 Oktal

3.  Biner Ke Hexadesimal

konversi bilangan biner ke hexadesimal dilakukan perkelompok, dimana 4 bit atau digit bilangan biner sama dengan 1 digit bilangan hexadesimal.
Contoh : 110010 biner
Untuk contoh 110010 = 32 hexadesimal

Konversi dari system bilangan Octal

1. Octal Ke Biner

Cara ini merupakan kebalikan cara konversi biner ke oktal. Setiap digit oktal akan langsung dikonversi ke biner lalu hasilnya digabungkan.
Contoh:
54₈ = …….₂ ?

54₈ = 101100₂

2. Octal Ke Desimal

Untuk konversi oktal ke binner anda perlu mengalikan digit dengan pangkat dari bilangan 8.
Contoh :
365₈ = …….₁₀ ?

Untuk melakukan konversi bilangan oktal ke bilangan berbasis 10 (desimal) lakukan dengan mengalikan setiap digit dari bilangan tersebut dengan pangkat 0, 1, 2, …, dst, dari basis mulai dari yang paling kanan.

365₈ = (3 x 8²)₁₀ + (6 x 8¹)₁₀ + (5 x 8⁰)₁₀ = 192 + 48 + 5 = 245

3. Octal Ke HexaDesimal

konversi Bilangan Oktal ke Hexadesimal

Untuk perhitungan secara manual, konversi bilangan oktal ke desimal dilakukan dengan mengkonversi bilangan oktal ke bilangan basis antara terlebih dahulu. Ada dua cara yang sering digunakan untuk konversi oktal ke hexadecimal. Cara pertama konversi dahulu bilangan oktal ke desimal, lalu dari bilangan desimal tersebut dikonversi lagi ke heksadesimal. Cara kedua adalah dengan menkonversi bilangan oktal ke bilangan biner, lalu dari biner di konversi lagi menjadi bilangan heksadesimal. Cara kedua merupakan cara yang paling sering digunakan.

Contoh :
365₈ = …….₁₆

Konversi bilangan oktal menjadi bilangan biner365₈ = 11 110 101 ₂

Selanjutnya 4 digit biner transformasikan menjadi heksadesimal11 110 101 ₂ = F5₁₆

Konversi dari system bilangan Heksa Desimal

1. Hexadesimal ke desimal

Untuk konversi heksadesimal ke desimal lakukan dengan mengalikan digit bilangan heksa dengan pangkat bilangan 16 dari kanan ke kiri mulai dengan pangkat 0, 1, 2, …, dst

Contoh :
F5₁₆ = …….₈ ?
F5₁₆ = (15 x 16¹)₁₀ + (5 x 16^-0)₁₀ = 240 + 5 = 245

2. Hexadesimal ke Biner

Cara ini merupakan kebalikan cara konversi biner ke heksadesimal. Setiap digit heksadesimal langsung dikonversi ke biner lalu hasilnya dipadukan.

Contoh:
F5₁₆ = …….₂ ?

1. Pertama-tama hitung F₁₆ = 1111₂ (F₁₆ = 15₁₀ = 1111₂, Lihat cara konversi dari desimal ke biner)
2. Kemudian didapat F5₁₆ = 11110101₂

3. Hexadesimal ke Oktal

Untuk konversi heksa desimal ke oktal mirip dengan cara konversi oktal ke desimal. Lakukan konversi heksadesimal ke biner terlebih dahulu lalu dari binner di konversi lagi ke oktal.

Contoh :
F5₁₆ = …….₈

1. Konversi bilangan heksadesimal menjadi bilangan biner
   F5₁₆ = 1111 0101₂
   angka F dan 5 dikonversi terlebih dahulu menjadi biner.
2. Selanjutnya 3 digit biner transformasikan menjadi oktal
   11 110 101 ₂ = 365₈